Modelo logístico

Vamos fazer a análise de estabilidade da conhecida equação logística de crescimento populacional:

\[ V=r N\left(1-\frac{N}{K}\right) \] Onde \(V\) é a velocidade de crescimento da população, \(r\) é a taxa intrínseca de crescimento populacional, e \(K\) a capacidade de suporte.

Equilibrio na logística

A pergunta básica da análise de estabilidade em sistemas dinâmicos é se há pontos de equilíbrio estáveis. No caso da logística, estes pontos de equilíbrio são tamanhos populacionais. Mas primeiro vamos definir equilíbrio:

O tamanho populacional em equilíbrio é aquele em que a velocidade de crescimento é nula, ou seja em que

\[ \frac{d N}{d t}=0 \] Há dois tamanhos populacionais que satisfazem esta condição para a equação logística:

\(N = K\)

\(N = 0\)

Estes tamanhos em equilíbrio fazem sentido biológico: a população não cresce quando chega à capacidade de suporte ou, trivialmente, quando está vazia.

Estabilidade da logística

Algum destes pontos de equilíbrio são estáveis? Vamos experimentar com um novo gráfico, mas antes precisamos definir de que estabilidade estamos falando:

Um tamanho populacional em equilíbrio é localmente estável se a população retorna a ele após uma pequena perturbação. Uma pequena perturbação é um pequeno acréscimo ou redução do tamanho populacional.